Kondition der Nullstellenbestimmung eines Polynoms

Um den Konditionsbegriff an einem weiteren Beispiel zu illustrieren, betrachten wir das Problem der Bestimmung der Nullstellen des Polynoms

\[ \frac{1}{4} \big(x^2 - 2 x + c\big) = \frac{1}{4} \big(x - (1 + \sqrt{1 - c})\big) \big(x - (1 - \sqrt{1 - c})\big), \]

für $c \in [0, 1]$. Zur Eingabegröße $c$ sind die Ausgabegrößen $f(c) = 1 + \sqrt{1 - c}$ bzw. $1 - \sqrt{1 - c}$ zu berechnen. Die absolute bzw. relative normweise Kondition ist somit

\[ \kappa_{\text{abs}} = \Vert f’(c) \Vert = \frac{1}{2 \sqrt{1 - c}} \quad \text{bzw.} \quad \kappa_{\text{rel}} = \kappa_{\text{abs}} \frac{\Vert c \Vert}{\Vert f(c) \Vert} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - c}} \cdot \frac{c}{1 + \sqrt{1 - c}}, \]

für $c \in [0, 1)$.

Applet

Im nachfolgenden Applet werden die absolute und relative normweise Kondition illustriert. Für $c \to 1$ lässt sich die schlechte Kondition ($\kappa_{\text{abs}}, \kappa_{\text{rel}} \to \infty$, zusammenfallende Nullstellen) gut am Verhältnis von $\Delta c$ (Änderung des Polynomkoeffizienten) und $\Delta f(c)$ (Änderung der Nullstellenlage) erkennen.