Iterierte Ähnlichkeitstransformationen

Bisher haben wir nur Transformationen miteinander verknüpft, welche die Größe der Objekte nicht verändert haben. Drehstreckungen und Kreisinversionen kommen in Ornamentgruppen explizit nicht vor. Das hat auch einen guten Grund: Wenn die Größe eines Objektes durch die Transformation nicht erhalten bleibt, ist es schwierig, die Transformationen so anzuordnen, dass die entstehenden Strukturen nicht chaotisch werden.

Wenn kein Chaos entsteht, dann können aber sehr ästhetische Strukturen entstehen. Das folgende Applet zeigt, was passiert, wenn man zwei Drehstauchungen miteinander auf alle erdenkliche Arten und Weisen miteinander verknüpft. Die Abbildungen sind durch die Position der drei Punkte $A,B,C$ definiert. Die erste Abbildung bildet die Strecke $\overline{AB}$ auf die Strecke $\overline{AC}$ ab. Die zweite Abbildung bildet die Strecke $\overline{AB}$ auf die Strecke $\overline{CB}$ ab (jeweils ohne dabei die Orientierung zu vertauschen).

Im Applet kann man am weißen Schieberegler die Anzahl der verketteten Operationen verändern. Natürlich sind ebenso die Positionen der Punkte $A,B,C$ und die Position von Dr. Stickler veränderbar.

Um genau zu verstehen, wie die einzelnen Bilder entstehen, ist beim folgenden Applet an den einzelnen Bildern von Dr. Stickler notiert, durch welche hintereinander ausgeführten Transformationen die einzelnen Bilder entstehen. Führt man beispielsweise die Transformation $1$ wiederholt hintereinander aus, so winden sich die Bilder spiralförmig um den Punkt $A$. Führt man $2$ wiederholt hintereinander aus, so winden sich die Bilder spiralförmig um den Punkt $B$.

Man kann auch beobachten, dass - je tiefer man iteriert - die Kopien von Dr. Stickler kleiner und kleiner werden. In der Tat ist die Position der tief iterierten Kopien nur noch unwesentlich von der Ursprungsposition Dr. Sticklers abhängig (ausprobieren!). Die Kopien werden gegen eine bestimmte Menge von Punkten gezogen, die ausschießlich von den verwendeten Transformationen abhängt: die so genannte Grenzpunktmenge. Das Studium von Grenzpunktmengen für iterierte Möbiustransformationen ist eines der Hauptthemen von Indra’s Pearls.