Geometrische Interpretation der Addition und Multiplikation komplexer Zahlen

Sowohl die Addition als auch die Multiplikation komplexer Zahlen hat eine direkte geometrische Interpretation. Während die Addition eines konstanten Summanden eine Verschiebung bewirkt, lässt sich eine komplexe Multiplikation mit einem konstantem Faktor als Drehstreckung interpretieren.

Komplexe Addition

Im Prinzip ist die komplexe Addition nichts anders als eine 2-dimensionale Vektoraddition. Realteil und Imaginärteil werden unabhängig voneinander addiert. Geometrisch kann man die Summe über eine Parallelogrammkonstruktion finden.

Komplexe Multiplikation

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden die Längen miteinander multipliziert und die Winkel bezüglich der reellen Achse summiert. Man sieht dies am einfachsten über die Polarkoordinaten-Darstellung einer komplexen Zahl ein. Gilt

\[ a=r_a\cdot e^{i\psi_a} \;\;\;\mbox{und} \quad b=r_b\cdot e^{i\psi_b}, \]

so ergibt sich für das Produkt

\[ a\cdot b=r_a r_b\cdot e^{i(\psi_a+\psi_b)}. \]

Man kann die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $r_a\cdot e^{i\psi_a}$ auch als Drehstreckung auffassen. Hierbei wird um den Winkel $\psi_a$ gedreht und um den Faktor $r_a$ gestreckt (bzw. gestaucht).