Gleichgewichte in Spannungsnetzwerken

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Wir betrachten ein ebenes Netzwerk, welches aus (idealen) Federn und (Masse-)Punkten aufgebaut ist. Einige der Punkte sollen mit der Ebene fest verbunden sein, die anderen sollen frei schwingen. Solch eine Struktur weist eine interessante Dynamik auf, die im Allgemeinen schwierig exakt zu berechnen ist. Überraschend scheint es aber zunächst, dass ein solches System einen wohldefinierten und eindeutigen Gleichgewichtszustand hat (hierzu sei vorausgesetzt, dass alle Federn eine Ruhelänge "0" haben). Ein solcher Gleichgewichtszustand stellt sich zum Beispiel von selbst ein, wenn das Feder-System gedämpft (also reibungsbehaftet) ist. Der Gleichgewichtszustand ist dadurch charakterisiert, dass die Kräftesumme, die an jedem frei schwingenden Punkt angreift, verschwinden muss. Hat das System $n$ freie Punkte, so führt das sowohl in $x$- als auch in $y$-Richtung auf ein System von $n$ linearen Gleichungen mit $n$ Unbekannten. Bezogen auf die Punkte hat jede der Gleichungen die Form \[ \sum_{j}\omega_{i,j}(p_i-p_j)=0, \] wobei für den Punkt $p_i$ über alle Nachbarpunkte $p_j$ summiert werden muss. Die $\omega_{i,j}$ geben die jeweiligen Federkonstanten an. Der Gleichgewichtszustand lässt sich nun einfach durch Lösen der Gleichungssysteme in jeder Koordinate bestimmen. Im obigen Applet lässt sich der Schwingungsvorgang durch Drücken des "play"-Knopfes starten. Die Position der festgenagelten (dunkelroten) Punkte kann verändert werden.