Kettenbruchberechnung

Das Verfahren ist auch sehr eng verwandt mit der Berechnung eines so genannten _Kettenbruchs_. Dieser wird auf der rechten Seite des Applets gleich mit angezeigt. Kettenbrüche sind dazu geeignet, sehr genaue rationale Approximationen zu reellen Zahlen zu bestimmen. Das Verfahren zu einer Kettenbruch-Berechnung ist dem Euklidischen Algorithmus sehr verwandt. Angenommen man hat eine reelle positive Zahl $x=x_0$ (, die man approximieren möchte). $x_0$ zerfällt in einen natürlichzahligen Teil vor dem Komma $a_0$ und in einen Rest $r_0$, der kleiner als $1$ ist, nach dem Komma. Es gilt also \[ x_0=a_0+r_0\quad\mbox{ mit }\quad a_0\in\mathbb{N} \mbox{ und } 0\leq r_0 < 1. \] Gilt $r_0=0$ stoppt man. Andernfalls berechnet man $x_1=1/r_0$. Diese Zahl $x_1$ ist größer als $1$ und zerfällt wieder in \[ x_1=a_1+r_1\quad\mbox{ mit }\quad a_1\in\mathbb{N} \mbox{ und } 0\leq r_1 < 1. \] Fährt man iterativ fort, so erzeugt man eine Zahlenfolge $a_0,a_1,a_2,\ldots$ Man nennt diese Zahlen die Kettenbruchkoeffizienten. Es gilt: \[ x={a_0+{1\over {a_1+{1\over {a_2+{1\over {a_3+{1\over {a_4+\cdots}}}}}}}}}, \] wobei dieser Grenzwert natürlich sauber definiert werden muss. Ist die Zahl $x$ rational, so bricht das Verfahren irgendwann ab (zumindest, sofern man Rundungsfehler nicht mit in Betracht zieht).