Zur Definition von Stetigkeit

Eine Funktion $f$ ist stetig im Punkt $x_0$ wenn die Folgende Bedingung erfüllt ist:

Für alle $\varepsilon >0$ gibt es ein $\delta > 0$ so dass aus $|x-x_0|<\delta$ automatisch $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ folgt.

Im folgenden Applet kann man diese Bedingung am Beispiel einiger Funktionen anwenden. Man kann den Punkt $x_0$ und die gewünschte Schranke $\varepsilon$ (Schieberegler) einstellen. Sodann kann man testen ob es ein geeignetes $\delta$ gibt, das obige Bedingung erfüllt (Schieberegler).

Anschaulich bedeutet die stetigkeit in $x_0$ das eine kleine Änderung dieses wertes nur eine kleine Änderung des entsprechenden Funktionswertes zur Folge hat.

An den Knöpfen lassen sich einige Funktionen auswählen.

1. $f(x):=\sin(x)$: Diese Funktion ist überall stetig.

2. $f(x):=\exp(x)$: Diese Funktion ist überall stetig.

3. $f(x):=x^2/2$: Diese Funktion ist überall stetig.

4. $f(x):=x-\lfloor x\rfloor$: Diese Sägezahnfunktion ist für keine ganze Zahl stetig. Überall sonst hingegen schon.

5. $f(x):={1\over x-2}$: Diese Funktion bis auf den Punkt $x_0=2$ überall stetig. An diesem Punkt ist sie nicht definiert und erst recht nicht stetig.

6. $\sin(1/x)$: Funktion ist im Punkt 5$x_0=0$ unstetig. Überall sonst hingegen schon. Im Nullpunkt oszilliert diese Funktion so schnell, dass das obige Kriterium fehlschlägt.

7. $f(x):=\left\{ \begin{array}{ll} \sin(1/x)\cdot x &x\neq 0\\0 &x= 0 \end{array}\right. \ $ Im Gegensatz zur vorhergehenden Funltion ist diese im Nullpunkt stetig, wenngleich sie dort nicht differenzierbar ist.

Man nennt die obige Definition der Stetigkeit auch punktweise Stetigkeit im Punkt $x_0$. Stärker als diese ist die Definition der geichmäßigen Stetigkeit die eine Aussage über die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich macht.

Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig wenn

für alle $\varepsilon >0$ gibt es ein $\delta>0$, so dass für jeden Punkt $x_0$ des Definitionbereiches aus $|x-x_0|<\delta$ automatisch $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ folgt.

In anderen Worten hängt in diesem Fall die Wahl von $\delta$ für gegebenes $\varepsilon$ nicht von der konkreten Wahl der Auswertungsstelle $x_0$ ab.

Von den obigen Funktionen ist zum Beispiel $\sin(x)$ gleichmäßig stetig, $\exp(x)$ hingegen nicht.