Quadrilateral sets

Primale Konstruktion

Eine weitere projektiv invariante Eigenschaft von Punkten auf den Geraden sind Quadrilateral sets. Vier gegebene Geraden schneiden sich in 6 Punkten. Die Projektion dieser 6 Schnittpunkte auf eine weitere Gerade bildet dort ein Quadrilateral set.

Man kann zeigen, dass die projizierten Punkte die projektiv invariante Determinanten-Gleichung $[a f] [b d] [c e] - [a e] [b f] [c d] = 0$ erfüllen. Die Menge $(a, d|b, e|c, f) = \{ \{a, d\},\{b, e\},\{c, f\} \}$ wird als ein Quadrilateral set bezeichnet. Dabei werden jeweils die Paare von Punkten zusammengefasst, deren Urbilder sich keine der vier Ausgangsgeraden teilen.

Duale Konstruktion

Aus Dualitätsgründen kann man ein Quadrilateral set auch erhalten, indem man zunächst 4 Punkte wählt und alle 6 möglichen Schnittgeraden bestimmt und diese mit einer weiteren Zielgerade schneidet.

Die Schnittpunkte auf der Zielgerade erfüllen ebenso die Bedingung $[A F] [B D] [C E] - [A E] [B F] [C D] = 0$ und $(A, D|B, E|C, F)$ ist ein Quadrilateral sets. In dieser Bezeichnung sind ebenso die Punkte zusammengefasst, deren Erzeugungsgeraden sich nicht in einem der vier Ausgangspunkten schneiden.

Sind 5 Punkte auf einer Geraden gegeben, so gibt es einen eindeutigen (und auch konstruierbaren) 6. Punkt, sodass die sechs Punkte zusammen ein Quadrilateral set bilden.

Anwendungen: Rechnen mit von Staudt Konstruktionen

Die von Staudt-Konstruktionen können als spezielle Quadrilateral sets aufgefasst werden. Durch Einsetzten von homogenen Koordinaten in die projektiv invariante Determinanten-Gleichung kann man prüfen, dass $(\bf{\infty, \infty | x, y | 0, x+y})$ und $(\bf{0, \infty | x, y | 1, x\cdot y})$ Quadrilateral Sets bilden, wobei $\infty =\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}$, $\bf{x} =\begin{pmatrix} x\\ 1\end{pmatrix}$, $\bf{y} =\begin{pmatrix} y\\ 1\end{pmatrix}$, $\bf{0} =\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}$, $\bf{1} =\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}$.