Iterierte Lie-Transformation I

Lie-Transformationen sind die Transformationen, die das Lie-Produkt invariant lassen, sie bilden also die Matrixgruppe $O(3,2)$ (Vorzeichensignatur der invarianten Bilinearform). Somit erhalten sie orientierte Berührungen zwischen Kreisen, Punkten und Geraden. Iteriert man eine solche Transformation kann man die verschiedensten strukturellen Eigenschaften dieser Abbildungen beobachten. Sie sind ähneln den Eigenschaften, die wir bereits bei Möbiustransformationen gesehen haben.

Eine ist z.B. dass eine Lie-Transformation Kreis in Punkte überführen kann und umgekehrt. Ein weiteres Merkmal sind z.B. die Fixpunkte, die Kreise sein können. Einige interessante Transformationen (definiert über die blauen und roten Kreise) und deren Iteration angewendet auf einen Startkreis (weißer Kreis) können Sie im folgenden Applet und auf den nächsten Seiten studieren.