Inverse einer Möbiustransformation

Geometrische Transformationen haben Umkehrabbildungen. Im Falle einer Möbiustransformation

\[ z\mapsto {az+b\over cz+d}. \]

lässt sich diese relativ einfach rechnerisch bestimmen. Ist

\[ \left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right) \]

die zur Möbiustransformation gehörige Parametermatrix, so ist deren Inverse

\[ \left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)^{-1} \]

die Parametermatrix der zugehörigen Umkehrabbildung. Explizit erhalten wir für die Parameter $a’,b’,c’,d’$ der Umkehrabbildung

\[ \left(\begin{array}{cc}a’&b’\\c’&d’\end{array}\right)= {1\over ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right). \]

Das folgende Applet zeigt Dr. Stickler (blau), die Iteration einer Möbiustransformation (rot) und die Iteration der Umkehrabbildung (grün). Man erkennt, dass die ursprüngliche Abbildung auf das eine Spiralzentrum hinläuft, während die Umkehrabbildung auf das andere Spiralzentrum zuläuft.

Tatsächlich hat jede Möbiustransformation zwei solche “Fixpunkte”: eine Quelle, auf die die Bilder zulaufen, und eine Senke, von der die Bilder weglaufen. (Für die Experten: Die Fixpunkte werden aus den Eigenvektoren der zur Möbiustransformation gehörigen Matrix bestimmt, und da eine 2x2 Matrix zwei Eigenvektoren hat, gibt es auch zwei Fixpunkte).