Messen mit Lie-Koordinaten

Bisher haben wir immer nur Situationen betrachtet, bei denen das Lie-Produkt von zwei Objekten verschwand, d.h. die beide Objekten sich berührten. Aber das Lie-Produkt liefert auch Informationen über die beiden Objekten, wenn es nicht verschwindet. Angenommen wir haben zwei verschiedene Punkte $p,q$ der Ebene. Dann gilt, dass deren Lie-Produkt nicht verschwindet und gleich $-\frac{1}{2} |p,q|^2 $ ist, d.h. also man kann direkt aus dem Lie-Produkt den Abstand der beiden Punkte bestimmen. Sehen wir uns noch ein Beispiel an. Es nun $g$ eine Gerade und $c$ ein Kreis. Dann ist der Wert des Lie-Produkts dieser beiden Objekt gleich dem Abstand des Punkte auf $c$, an den eine orientierte Tangente, die wiederum parallel zu $g$ ist, angelegt werden kann und dessen Orthogonalprojektion auf $g$.

Wenn Sie sich nun noch nicht so richtig vorstellen können, was das bedeutet, ziehen Sie einfach einen der Kreise und eine Gerade in den Aktivbereich des Applets. Für diese spezielle Situation wird dann die eben beschriebe Situation sichtbar.

Und die restlichen Fälle können Sie wiedermal selbst erkunden.