Skalarprodukte und Projektionen

Skalarprodukte stehen in einem engen Zusammenhang mit Projektionsoperatoren. Angenommen man will einen Vektor $v$ auf die Gerade projizieren, die von einem Vektor $w$ aufgespannt wird. So sucht man ein geeignetes Vielfaches $v\lambda\cdot w=:v’$ des Vektors $w$, so dass die Differenz $v-v’$ senkrecht auf $w$ steht. Für welches $\lambda$ ist dies erfüllt?

Setzt man an $0=\langle v-v’,w\rangle = \langle v-\lambda\cdot w,w\rangle$, so kann man ausklammern und erhält: $0=\langle v,w\rangle-\lambda\cdot\langle w,w\rangle$. Somit ergibt sich nach einfacher Umformng die Projektion von $v$ zu

\[ v’={\langle v,w\rangle\over \langle w,w\rangle}\cdot w. \]

Umgekehrt kann man das Skalarprodukt $\langle v,w\rangle$ bestimmen als \[ \langle v,w\rangle= \Vert w \Vert \cdot \Vert v’ \Vert, \]

da ja das Skalarprodukt $\langle v,w\rangle=\langle v’,w\rangle$ ist und $v’$ und $w$ in gleiche oder entgegengesetzte Richtungen zeigen.