Skalarprodukt bezüglich beleibeiger Basis

Im folgenden Applet kann ein Skalarprodukt definiert werden, bzgl. dem zwei gegebene Vektoren $a_1,a_2$ eine Orthonormalbasis bilden.

Man kann ein solches Skalarpodukt folgendermaßen bestimmen. Sind die Vektoren $a_1,a_2$ bzgl einer Standardbasis gegeben durch

\[ a_1=\left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\right);\qquad a_2=\left(\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array}\right) \]

und definiert man eine Matrix

\[ A=\left(\begin{array}{cc}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{array}\right) \]

So berechnet sich das Skalarprodukt zu

\[ s(v,w):=v^T(A^{-1})^{T}A^{-1}w \]

wie man leicht durch Einsetzen nachprüft.