Nebenklassen von Untervektorräumen

Ebenso wie im Fall von Gruppen und Untergruppen kann man auch für Vektorräume und Untervektorräume eine Quotientenstruktur definieren. Die Konstruktion ist in beiden Fällen vollkommen analog.

Sei also $V$ ein Vektorraum und $U$ ein Untervektorraum von $V$. Die Mengen

\[ v+U :=\{v+u|u\in U\} \]

nennt man die Nebenklassen des Vektorraums $U$.

Die Menge aller Nebenklassen nennt man den Quotientenvektorraum von $V$ nach $U$

\[ V/U :=\{v+U|v\in V\}. \]

Die Mengen aller Nebenklassen zu einem Untervektorraum bilden eine Partition des ursprünglichen Vektorraumes $V$.

Im folgenden Applet kann man die Erzeugung einer Nebenklasse nachvollziehen. Hierzu ist ein von einem Vektor $a$ erzeugter Untervektorraum $U_a$ des $R^2$ gegeben.

Die Nebenklasse eines weiteren Vektors $v$ wird angezeigt. Man kann beobachten, wie die Nebenklasse durch Aufaddieren von Vektoren $u$ aus dem Untervektorraum zu $v$ entsteht.

Auch die Umkehrung dieses Erzeugungsprozesses ist nützlich. Erzeugen zwei Vektoren $v$ und $v’$ die gleiche Nebenklasse, so liegt die Differenz $v’-v$ im zugehörigen Untervektorraum.