Zu H41: Komposition von Bewegungen

Im $\R^2$ sei ein Dreieck mit den Seiten a,b,c >0 und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma$ gegeben. Ohne Einschränkung seien dabei die Ecken A=(0 ; 0), B=(c ; 0) und C=(b cos $\alpha$ ; b sin $\alpha$ ) bezogen auf eine Orthonormalbasis des $\R^2$ gewählt, siehe Figur. Ferner bezeichne $\sigma_g$ die Achsenspiegelung an der Geraden $g_{}$ und $\delta_{Z,\varphi}$ die Drehung um $Z_{ }$ mit dem Winkel $\varphi$ im Uhrzeigersinn.

1) Begründen Sie, warum $\delta_{C, 2\gamma }\circ \delta_{B, 2 \beta} \circ \delta_{A, 2 \alpha}$ die Identität ist.
2) Zeigen Sie, dass die Abbildung $\kappa:=\sigma_a\circ \sigma_b \circ \sigma_c$ eine Spiegelung an der Verbindungsgerade $g_{}$ der Höhenfußpunkte $H_c$ und $H_a$ plus eine Verschiebung $s_{}$ parallel zu $g_{}$, also eine Gleitspiegelung ist. Bestimmen Sie insbesondere den Schubvektor $s_{}$.

Lösung: 1) Wähle $\delta_{A,2\alpha}=\sigma_c \circ \sigma_b, \delta_{B,2\beta}=\sigma_a \circ \sigma_c, \delta_{C,2\gamma}=\sigma_b \circ \sigma_a$
$\Rightarrow \delta_{C,2\gamma} \circ \delta_{B,2\beta} \circ \delta_{A,2\alpha}$ = $(\sigma_b \circ \sigma_a) \circ (\sigma_a \circ \sigma_c) \circ (\sigma_c \circ \sigma_b)$ = $\sigma_b \circ (\sigma_a \circ \sigma_a) \circ (\sigma_c \circ \sigma_c) \circ \sigma_b = id$

Lösung. 2) Die Komposition dreier Spiegelungsmatrizen ist in der Ebene wieder eine Spiegelungsmatrix, d.h.:
Die Komposition der drei Geradenspiegelungen ist analytisch eine Spiegelung $\sigma_f$ an einer Geraden $f_{}$ durch den Ursprung O plus eine Translation $\tau_t$ mit einer orientierten Schiebstrecke $t_{ }$.
Zerlegt man $t_{}$ orthogonal zu $g$ in $t=u+s$, so ist $\tau_u \circ \sigma_f$ die Spiegelung an einer Geraden $g || f$ im orientierten Abstand $u/2$ von O, vgl. Achsenspiegelung $\Rightarrow\quad \kappa=\tau_s \circ \tau_f \circ \sigma_f = \tau_s \circ \sigma_g$ ist eine Gleitspiegelung $\gamma_{g,s}$ mit Achse $g$ mit Schubvektor $s || g$.
Für $s=0$ ist die Gleitspiegelung einfach eine Achsenspiegelung an $g_{ }$. Es gilt also der Satz:

Die Komposition dreier Achsenspiegelungen der Ebene ist stets eine Gleitspiegelung an einer Achse $g$ mit Schubvektor $s || g$.

Eigenschaften von Gleitspiegelungen:

Anwendung zur Bestimmung von $\kappa$:

Bezeichne $x’=\sigma_c(x), x’’=\sigma_b(x’)=(\sigma_b\circ \sigma_c)(x)$ und $x’’’=\sigma_a(x’’)=(\sigma_a\circ \sigma_b\circ \sigma_c)(x)= \kappa(x)$

Betrachte die Bilder $A’’’=\kappa(A)$ von $A_{ }$ und $F’’’=\kappa(F)=C$ von $F=C’=\sigma_c(C)$

$\Rightarrow$ $H_a=M_{AA’’’}$ und $H_c=M_{FF’’’}=M_{C’C}$ liegen auf der Achse $g_{}$.

Da die Punkte $H_a$ und $H_c$ auf dem Thaleskreis über der Strecke $AC$ liegen, ist das Viereck $AH_c H_a C$ ein Sehnenviereck und damit der Winkel $<)BH_cH_a=\gamma$.

Den Schubvektor $s_{}|| g$ erhält man mit Hilfe des Spiegelpunktes $A^*=\sigma_g(A)$ als $s_{}=A^*A$.