Primal vs. Dual

Dualität ist ein essentielles Konzept der projektiven Geometrie. Im Folgenden gehen wir auf die Grundzüge dieser Dualität in der reellen projektiven Ebene ein.

Dafür betrachten wir exemplarisch die symmetrische Rolle von Punkten und Geraden. Die Äquivalenzklassenbildung, die wir für die homogenen Koordinaten durchgeführt haben, ist in beiden Fällen die gleiche. Aber auch die Inzidenzrelation ist für beide Objekte vollkommen symmetrisch. Das resultiert einfach aus der Gleichung $ax+by+cz = 0$, die die Inzidenz zwischen einem Punkt $(x,y,z)^T$ und einer Geraden $(a,b,c)^T$ beschreibt.

Diese Symmetrie setzt sich in alle Bereiche der projektiven Geometrie hin fort und wird Dualität genannt. Letztlich befähigt uns die Dualität systematisch Dinge zu vertauschen und so aus gültigen Theoremen neue zu erhalten. In der reellen projektiven Ebene muss man sich an die folgenden Vertauschungsregeln halten:

\[ \begin{array}{ccc} \mbox{Punkte} & \leftrightarrow &\mbox{Geraden} \\ \mbox{Verbindungsgerade} &\leftrightarrow &\mbox{Schnittpunkt} \\ \mbox{kollinear} &\leftrightarrow &\mbox{konkurrent} \end{array} \]

Die beiden Applets veranschaulichen die eben eingeführten Vertauschungsregeln. Prüfen Sie nach, dass die beiden dual zueinander sind!

PrimalDual.cdy (Dieses Applet kann in Cinderella ausgeführt werden.)