Kreisspiegelung
Die wohl interessanteste hier behandelte Abbildung ist die Kreisspiegelung, auch Kreisinversion genannt. Für einen gegebenen Kreis mit Mittelpunkt $O$ und Radius $r$ definieren wir die Kreisspiegelung eines Punktes $A$ über die Gleichung
\[ |OA|\cdot|OA’|=r^2 \]
Hierbei soll der Punkt $A’$ von $O$ aus gesehen in der gleichen Richtung wie $A$ liegen.
In dem obigen Applet kann man den Punkt $A$ bewegen und dabei das Bild $A’$ beobachten. Fährt man den Kreis oder das Haus im rechten Applet mit dem Punkt $A$ ab, so sieht man, wie das Bild entsteht.
Die Kreisspiegelung hat bemerkenswerte Eigenschaften:
- Kreise werden auf Kreise (oder Geraden) abgebildet,
- Geraden werden auf Kreise (oder Geraden) abgebildet.
Fasst man Kreise als Geraden mit unendlich großem Radius auf, so kann man zusammenfassen: Kreise werden auf Kreise abgebildet!
Weiterhin bleibt unter der Kreisinversion der Schnittwinkel von Objekten erhalten. Man kann im obigen Beispiel auch die Kreise und das Haus bewegen, um die Auswirkung der Kreisspiegelung besser zu verstehen. Hier ein paar interessante Sonderfälle:
- Kreise durch den Mittelpunkt des Spiegelkreises werden auf Geraden abgebildet.
- Geraden werden auf Kreise durch den Mittelpunkt abgebildet.
- Kreise, die senkrecht auf dem Rand des Spieglungskreises stehen, werden auf sich selbst abgebildet.
- Die Kreisspiegelung vertauscht das Innere und das Äußere des Spiegelkreises.
- Der Mittelpunkt des Spiegelkreises wird “ins Unendliche” abgebildet.