Möbiustransformationen…

… oder: Eine für alle!

Wir haben gesehen, dass sich viele interessante Abbildungen als komplexe Funktionen schreiben lassen. Insbesondere die bekannten Transformationen (Drehung, Drehstreckung, Verschiebung) haben alle die Form

\[ z\mapsto az+b. \]

Spiegelungen haben die Form:

\[ z\mapsto a\overline{z}+b, \]

und die Kreisinversion am Einheitskreis war

\[ z\mapsto {1\over \overline{z}}. \]

Allen diesen Transformationen ist gemeinsam, dass sie die Menge der Kreise und Geraden auf die Menge der Kreise und Geraden abbilden. Dies muss also auch dann gelten, wenn man mehrere solche Transformationen nacheinander ausführt.

Mit ein wenig Rechnerei kann man zeigen, dass die beliebige Hintereinanderausführung der oben genannten Transformationen (Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen, Streckungen, Kreisinversionen) sich immer auf eine von zwei möglichen Gestalten bringen lässt:

\[ z\mapsto {az+b\over cz+d}. \qquad \text{oder} \qquad z\mapsto {a\overline{z}+b\over c\overline{z}+d}. \]

Der erste Fall entsteht, wenn eine gerade Anzahl von Kreis- oder Geradenspiegelungen beteiligt ist. Der zweite Fall entsteht, wenn eine ungerade Anzahl beteiligt ist. Die vier Zahlen $a,b,c,d$ sind dabei komplexe Parameter.

Die erste Transformationsart heißt Möbiustransformation. Die zweite Transformationsart heißt Anti-Möbiustransformation. Die Parameter sind hierbei fast frei wählbar. Nur eine Bedingung sollten sie erfüllen: die Determinante

\[ \det\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right) \]

darf nicht Null werden, denn sonst ist die Abbildung nicht mehr umkehrbar.

Geometrie der Möbiustransformation

Möbiustransformationen sind die zentralen Objekte im Buch Indra’s Pearls. Das folgende Applet zeigt, wie es Dr. Stickler unter einer iterierten Möbiustransformation ergeht. Die Parameter $a,b,c,d$ sind wieder frei wählbar.

Man sieht, dass die Abbildung recht komplex ist. Sie hat zwei spiralige Drehzentren, und ein leichtes Verändern der Parameter verändert die Geometrie der Abbildung gewaltig. Dr. Stickler scheint aus dem einen Spiralzentrum herauszukommen und in das andere hineingezogen zu werden.

Einige Beobachtungen:

• Wählt man $c=0$ und $d=1$, so erhält man Drehstreckungen, Drehungen und Verschiebungen.
• Wählt man $a=0$, $b=1$, $c=1$ und $d=0$, so erhält man eine an der reellen Achse gespiegelte Kreisspiegelung.