Elastische Kurven mit Federpendel

Die Differentialgleichung $ \alpha’’ = -\rho \sin( \alpha) $ beschreibt den Winkel eines idealisierten Fadenpendels. Sei $\alpha: \R \to \R$ eine Lösung dieser Differentialgleichung. (In diesem Applet wird eine Lösung durch eine Simulation erhalten)

Definiert man eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve $\gamma: \R \to \R$ mit Tangentialvektor $T = e^{i \alpha}$, so gilt für die Krümmung $\kappa = \alpha’$.

Damit ist $\kappa’’ = \alpha’’’ = -\rho \cos( \alpha) \alpha’ = -\rho \cos( \alpha) \kappa$ und durch Integration von $ \alpha’ (\alpha’’ + \rho \sin( \alpha)) = 0 $ erhält man $\frac{1}{2}(\alpha’)^2 -\rho \cos( \alpha) = -\lambda$ für ein $\lambda\in\R$.

Durch Zusammenfügen der beiden Formeln erhält man $\kappa’’ + \frac{\kappa^3}{2} + \lambda \kappa = 0$. Dies ist eine Charakterisierung für elastische Kurven.

Man kann auch die Umkehrung zeigen (Übungsblatt 3). Demnach sind die elastischen Kurven genau die Kurven, die durch das Modell im Applet erzeugt werden.