Sätze mit harmonischen Punkten

Nachstehend sind ein paar Sätze angegeben, die auf harmonischen Punkten beruhen.

Das folgenden Applet zeigt noch mal, dass die Wahl der Hilfspunkte, die für die Konstruktion harmonischer Punkte benötigt werden, keine Rolle spielt.

Der Satz, der hier veranschaulicht ist, lässt sich präzise wie folgt formulieren:

Gegeben sind die vier kollinearen Punkte $A,B,C,D$. Dann gilt $(A,B;C,D)=-1 \iff (D,C;B,A)=-1$.

Auch hier geben wir den Satz präzise an:

Gegeben vier kollineare Punkte $A,B,C,D$ in harmonischer Lage und $k\in\mathbb{N}$ projektive Transformationen $\tau_1,\ldots , \tau_k$. Dann sind die Bilder

[ (\tau_k \circ \cdots \circ \tau_1)(X) \quad\quad X\in {A,B,C,D} ]

ebenso in harmonischer Lage.