Satz von Laguerre

Beim Übergang von euklidischer zu projektiver Geometrie verliert man die Fähigkeit Längen und Winkel zu messen. Doch mithilfe komplexer Zahlen kann man auch in der projektiven Geometrie wieder Lägen und Winkel messen. Die Formel Laguerre ermöglicht es einem den Winkel zwischen zwei Geraden zu messen. Im Folgenden werden wir auf die Idee, die hinter dieser Formel steckt eingehen.

Gegeben seien zwei Geraden $l=(a_l,b_l,c_l)^T$ und $m=(a_m,b_m,c_m)^T$ in $\mathbb{RP}^2$. Dabei sind die Vektoren $n_l=(a_l,b_l)^T$ und $n_m=(a_m,b_m)^T$ die Normalenvektoren der beiden Geraden. Die erste Bobachtung, die wir benötigen ist, dass der Winkel zwischen den Geraden $m$ und $l$ der gleichen ist wie zwischen den beiden Normalenvektoren, d.h. es genügt den Winkel zwischen $n_m$ und $n_l$ zu bestimmen. Hierfür fassen wir $n_m$ und $n_l$ als komplexe Zahlen $z_m= a_m + i \cdot b_m$ und $z_l = a_l + i \cdot b_l$ auf. Diese schließen natürlich wieder den gesuchten Winkel ein. Doch jetzt können wir die Geometrie der Multiplikation komplexer Zahlen nutzen, um an den gewünschten Winkel zu kommen. Schreiben wir $z_m= r_m \cdot e^{\varphi_m}$ und $z_l = r_l \cdot e^{\varphi_l}$ in Polarkoordinaten, so wissen wir, dass der gesuchte Winkel gleich

\[ \varphi_l - \varphi_m\]

ist. An diese Differenz kommen wir über den folgenden Quotienten:

\[ \frac{z_l \cdot \overline{z}_m}{z_m \cdot \overline{z}_l} = e^{2 i\cdot (\varphi_l - \varphi_m)}. \]

Hieraus muss man nur den Logarithmus bilden und durch $2i$ teilen, um den Winkel zu erhalten.