Radlinien

Rollt ein Kreis k(M,r) auf einer Geraden (x-Achse) ohne zu gleiten, so beschreibt ein mit dem Kreis k fest verbundener Punkt P eine Radlinie mit der Parametrisierung:

$\gamma: \R \rightarrow \R^2: \gamma(t)=r\cdot(t-\lambda\;cos\;t\;,\;1-\lambda\;sin\;t) $ mit festem $\lambda > 0$

Für $\lambda = 1$ erhält man die Zykloide, für $\lambda < 1$ die verkürzte Zykloide und für $\lambda > 1$ die verlängerte Zykloide.

Für $\lambda = 1$ hat die Zykloide an den Stellen $\gamma(k\cdot2\pi), k \in \Z$ singuläre Punkte (Umkehrpunkte). Der Zykloidenbogen zwischen zwei Singularitäten hat die Länge 8r.
Für $\lambda \neq 1$ bezeichnet man die Kurven auch als Trochoiden, diese besitzen keine Singularitäten.
Die verkürzte Zykloide ist “einfach”, das heißt $\gamma$ ist injektiv. Die verlängerte Zykloide besitzt Doppelpunkte, $\gamma$ ist also nicht injektiv.

Die Tangente an $\gamma(\R)$ im Punkt P ist senkrecht zu BP (Berührpunkt B des Kreises mit der x-Achse ist “Momentanpol” der Rollbewegung).

Anwendungen von Zykloidenbögen sind: Isochrones Pendel, Tautochrone, Brachistochrone.