Pseudo-euklidischer Satz von Thales

Mithilfe der beiden Punkte $\mathtt{I} = (-i,1,0)^T$ und $\mathtt{J} = (i,1,0)^T$ konnten wir die euklidische Geometrie aus der projektiven Geometrie gewinnen. Um zur pseudo-euklidischen Geometrie zu kommen, wählt man einfach für $\mathtt{I}$ und $\mathtt{J}$ nun die Vektoren $ (1,1,0)^T$ und $ (-1,1,0)^T$ (nennt man die isotropen Richtungen). Dies führt zu einigen Unterschieden der beiden Geometrien, aber auch zu Gemeinsamkeiten. Eine Gemeinsamkeit ist der Satz von Thales, der in beiden Geometrien gilt.

Euklidische Version

Hier besagt der Satz, dass wenn wir einen Kreis haben und Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises, dann können wir einen beliebigen Punkt auf dem Kreis wählen, diesen mit den beiden Schnittpunkten der Geraden und des Kreises verbinden und erhalten so zwei orthogonale Geraden.

Pseudo-euklidische Version

In der pseudo-euklidischen Geometrie gilt dieser Satz ebenso. Zuerst einmal wollen wir klären was Kreise in der pseudo-euklidischen Geometrie sind. Kreise waren dadurch charakterisiert, dass sie durch die Punkte $\mathtt{I}$ und $\mathtt{J}$ gehen. Mit der speziellen Wahl der pseudo-euklidischen Geometrie ergeben sich nun Kegelschnitte, die die Ferngerade in den Punkten $ (1,1,0)^T$ und $ (-1,1,0)^T$ schneiden, das sind Hyperbeln. Orthogonalität von zwei Geraden $g$ und $l$ war dadurch charakterisiert, dass ihre Fernpunkte $G$ und $L$ mit $\mathtt{I}$ und $\mathtt{J}$ harmonisch lagen. Wenn wir dies wieder als Kriterium für Orthogonalität heranziehen, gilt der Satz von Thales ebenso in der pseudo-euklidischen Geometrie. Er sieht natürlich anders aus, von algebraischen Standpunkt aus erfüllt er aber die gleichen Bedingungen. Das folgende Applet zeigt die pseudo-euklidische Version des Satzes von Thales. Der Doppelverhältnis der blauen Geraden und der beiden rot angedeuteten Geraden (das sind die Geraden zu den Richtungen $ (1,1,0)^T$ und $ (-1,1,0)^T$) ist gleich $-1$.