Weitere Verallgemeinerungen

Die Sätze von Pappos und Pascal sind beides Spezialfälle eines viel allgemeineren Effektes: dem so genannten Cayley-Bacharach Theorem. Um dieses zu verstehen lohnt es sich zunächst einmal etwas vom Satz von Bezout gehört zu haben. Dieser besagt, dass in der projektiven Ebene der Schnitt einer algebraische Kurve vom Grad $n$ mit einer Kurve vom Grad $m$ sofern diese nicht in einer ganzen Komponente zusammenfallen aus $n\cdot m$ Punkten besteht (hierbei muss man komplexe Nullstellen und Vielfachheiten entsprechend mitverrechnen). Zwei Geraden (Kurven vom Grad 1) haben also im Allgemeinen $1\cdot 1=1$ Schnittpunkt (sofern sie nicht zusammen fallen). Eine Gerade hat mit einem Kegelschnitt (Kurve vom Grad 2) $1\cdot 2=2$ Schnittpunkte. Zwei Kegelschnitte haben $2\cdot 2=4$ Schnittpunkte und zwei Kurven dritten Grades (man nennt diese Kubiken) haben $3\cdot 3=9$ Schnittpunkte.

Der Satz von Cayley-Bacharach besagt nun, dass, wenn eine Kubik durch acht der Schnittpunkte zweier anderer Kubiken läuft, dann geht diese automatisch auch durch den “neunten” Schnittpunkt.

Das Applet unten demonstriert diesen Effekt. Eine Kubik ist durch die Position von neun in allgemeiner Lage auf ihr liegender Punkte festgelegt. Die acht Punkte, die allen drei Kubiken gemein sind, sind die weißen Punkte. Jede der drei Kubiken lässt sich nun durch die Position des jeweiligen farbigen Punktes festlegen. Die drei Kubiken haben dabei automatisch einen weiteren Punkt gemeinsam.

Interesante Spezialfälle:

Hier ein paar interessante Spezialfälle des Satzes:

Eine Version hat im Wesentlichen alle beteiligten Punkte in allgemeiner Lage.
Der ergibt sich als Spezialfall folgendermaßen: Wir fassen geeignete Tripel von Geraden durch Multiplikation der Gleichungen als eine Kubik auf. Die letzte Inzidenz ergibt sich automatisch als eine Konsequenz des Satzen von Cayley-Bacharach.
Analog ergibt sich der .Hierbei fasst man den Kegelschnitt gemeinsam mit einer Geraden als Kurve dritten Grades auf. Die beiden anderen Kubiken ergeben sich wieder als Vereinigung von je drei Geraden. Hier ist übrigens noch eine andere sehr des Satzes von Pascal.
Mit Hilfe des Satzes von Cayley Bacharach kann man noch weiterhin Verallgemeinern. So ergeben sich beispielsweise Schließungssätze mit oder gar .
Eine weitere interessante Verallgemeinerung ist die : Liegen sechs der neun Schnittpunkte zweier Kubiken auf einem Kegelschnitt, so liegen die restliche drei auf einer Geraden. Hier noch eine andere dieses Satzes.