Ganzzahlige Soddy Konfigurationen

Soddy Konfigurationen - genauer gesagt ganzzahlige Soddy Konfigurationen - stehen im engen Zusammenhang zur Zahlentheorie. Der Schlüssel hierfür ist der Satz von Descartes, der eine Aussage über die Radien bzw. Krümmungen der Kreise in einer Soddy Konfiguration macht.

Es sein $r$ der Radius eines Kreises, dann bezeichnen wir $k=1/r$ die Krümmung dieses Kreises (Geraden bekommen bei dieser Konvention die Krümmung $0$ zugewiesen). Mit dieser Konvention lässt sich Identität im Satz von Descartes wie folgt formulieren.

\[ 2 \cdot \left( k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k^2 \right) = \left(k_1 + k_2 + k_3 + k \right)^2 \]

Ebenso ergeben sich die Bedingungen

\[ k = k_1 + k_2 + k_3 \pm 2 \sqrt{k_1 \cdot k_2 + k_1 \cdot k_3 + k_2 \cdot k_3} \quad \mbox{und} \quad k+k’= 2 \cdot \left(k_1 + k_2 + k_3 \right). \]

Wir sind nun an ganzzahligen Lösungen $k_1,\ldots,k_3,k,k’$ dieser Gleichungen interessiert. Einerseits ist es nicht allzu schwer zu zeigen, dass es unendliche viele Soddy Konfigurationen gibt mit ganzzahligen Krümmungen (Setze $k_3 = 0$ und wähle $k_1,k_2$ als beliebige Quadratzahlen). Anderseits folgt, dass wenn $k_1,k_2,k_3,k$ ganzzahling sind ebenso die Ganzzahligkeit der anderen Lösung $k’$.

Im nachstehenden Applet sind drei Kreise (blau) gegeben und dazu die zugehörigen Kreise (rot, grün), die diese jeweils zu einer Soddy Konfiguration ergänzen. Über die drei Schieberegeler können Sie die ganzzahligen Krümmungen der blauen Kreise verändern. Dabei sind die Krümmungen markiert, für die sich eine ganzzahlige Soddy Konfiguration einstellt.