Flächenfüllende Kurven

Eine weitere Methode zu erzeugen stetiger und nirgends differenzierbarer Kurven benutzt die Konstruktion so genannte Flächenfüllender Kurven. Das Applet unten zeigt die iterative Konstruktion einer solchen Kurve (Slider mit $n$ bwegen). Sie ist eine Abbildung $f$ des Einheitsintervalls $[0,1]$ in das Einheitsquadrat $[0,1]\times [0,1]$ . Die gezeigte Konstruktion füllt im Grenzfall das gesamte Quadrat aus. Eine erste Flächenfüllende Kurve wurde von Peano 1890 entdeckt. Die hier gezeigte Kurve ist eine Variante von Peanos Konstruktion, die auf Hilbert 1891 zurückgeht.

Tatsächlich stellt sich heraus, dass die Abbildung des Einheitsintervals in das Quadrat stetig und im Grenzfall sogar surjektiv ist. Am mit $t$ bezeichneten Slider kann man einen Punkt entlang der Kurve (hier natürlich nur mit endlicher Iterationstiefe) bewegen. Die $x$- und die $y$-Komponente dieser Funktion sind rechts am Rand gezeigt. Im Grenzfall handelt es sich auch bei diesen Kurven um Funktionen die zwar überall stetig, aber nirgend differenzierbar sind.