Determinanten in der Geometrie

Geraden

Für reelle Zahlen $a$, $b$, $c$ mit $(a,b,c)\neq(0,0,0)$, beschreibt die Gleichung $a \cdot x + b \cdot y + c = 0$ eine Gerade. Falls $a=b=0$, fassen wir die Gleichung als die Gerade im Unendlichen auf.

Drei Punkte $v$, $w$, $u$ liegen also genau dann auf einer Geraden, wenn es ein reelles Zahlen-Tripel $(a,b,c)\in\mathbb{R}\setminus\{(0,0,0)\}$ gibt, sodass gleichzeitig $a \cdot v_x + b \cdot v_y + c = 0$, $a \cdot w_x + b \cdot w_y + c = 0$ und $a \cdot u_x + b \cdot u_y + c = 0$ gelten.

Dies ist äquivalent zu der Eigenschaft, dass das lineare Gleichungssystem

[ \begin{pmatrix}v_x & v_y & 1 \\ w_x & w_y & 1 \\ u_x & u_y & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = 0 ]

eine nicht-triviale Lösung hat. Dies gilt wiederum genau dann wenn

[ \det\begin{pmatrix} v_x & v_y & 1 \\ w_x & w_y & 1 \\ u_x & u_y & 1 \end{pmatrix}=0. ]

Im folgenden Applet ist der wird der Wert von der Determinante für einstellbare Punkte $v$, $w$, $u$ berechnet.

Der Hintergrund des Applets ist nach den Auswertungen des Determinante bei festgehaltenen $v$ und $w$ für verschiedene $u$ gefärbt. Grün bedeutet, dass die Determinante positiv, rot bedeutet dass die Determinante negativ wäre. Algebraisch kann man die dargestellte Abbildung

$u \mapsto \det\begin{pmatrix}v_x & v_y & 1 \\w_x & w_y & 1 \\ u_x & u_y & 1 \end{pmatrix}$

als ein bivariates Polynom in $u_x$ und $u_y$ auffassen. Der Nullstellenbereich des Polynomes beschreibt genau die Gerade durch $u$ und $v$. Entwickelt man obigen Ausdruck nach der 3. Zeile, so erhält man auch direkt wieder die obige Geradengleichung. Das Vorzeichen der Funktion gibt die Seiten der Geraden an.

Kreise und Inkreis-Prädikat

Wir möchten obigen Ansatz zur Herleitung einer aus einer Determinanten bestehenden Kreisformel verwenden.

Durch 3 Punkte verläuft stets ein Kreis (Wir fassen auch Geraden als Kreise mit unendlichem Radius auf). Wir möchten entscheiden, ob vier Punkte auf einem Kreis liegen, oder ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb eines durch 3 Punkte gegebenen Kreises liegt.

Ein Kreis mit Mittelpunkt $m$ und Radius $r$ kann durch die Formel [ (x-m_x)^2+(y-m_y)^2=r^2 ] beschrieben werden. Ausmultiplizieren ergibt [ x^2+2 m_x x + m_x^2 + y^2+2 m_y y + m_y^2 = r^2 ] Sammeln wir die konstanten Terme (also Terme, die weder von $x$ oder $y$ abhängen) in den Variablen $a$, $b$, $c$ und $d$, so erhält man eine Kreisgleichung auch als eine Gleichung der Form

[(x^2+y^2)\cdot a + x\cdot b + y\cdot c + d = 0.]

Umgekehrt beschreibt für gegebene $(a,b,c,d)\in \mathbb{R^4}\setminus{(0,0,0,0)}$ diese Gleichung einen Kreis, eine Gerade oder die Ferngerade.

Ähnlich wie oben liegen vier Punkte $v, w, u, t$ also genau dann auf einem solchen verallgemeinerten Kreis, wenn das Gleichungssystem

[ \begin{pmatrix}v_x^2 + v_y^2 & v_x & v_y & 1 \\ w_x^2 + w_y^2 & w_x & w_y & 1 \\ u_x^2 + u_y^2 & u_x & u_y & 1 \\ t_x^2 + t_y^2 & t_x & t_y & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = 0 ]

eine nicht triviale Lösung hat. Dies ist wieder genau dann der Fall, wenn

[\det\begin{pmatrix}v_x^2 + v_y^2 & v_x & v_y & 1 \\ w_x^2 + w_y^2 & w_x & w_y & 1 \\ u_x^2 + u_y^2 & u_x & u_y & 1 \\ t_x^2 + t_y^2 & t_x & t_y & 1 \end{pmatrix} = 0.]

Durch Auswertung des Determinantenvorzeichens lässt sich auch entscheiden, ob sich ein Punkt innerhalb eines durch drei andere Punkte aufgespannten Kreises befindet. Die Nullstellenmenge der Abbildung

[t\mapsto \det\begin{pmatrix}v_x^2 + v_y^2 & v_x & v_y & 1 \\ w_x^2 + w_y^2 & w_x & w_y & 1 \\ u_x^2 + u_y^2 & u_x & u_y & 1 \\ t_x^2 + t_y^2 & t_x & t_y & 1 \end{pmatrix}]

ist ein Kreis. Im Applet ist durch die Farbe im Hintergrund das Vorzeichen der Auswertung des Prädikats an verschiedenen Stellen angegeben.

Parabeln

Obiger Ansatz lässt sich mit der gleichen Methode auch für Parabeln anwenden:

In diesem Applet wird die Abbildung

[ t\mapsto \det\begin{pmatrix}v_x^2 & v_x & v_y & 1 \\ w_x^2 & w_x & w_y & 1 \\ u_x^2 & u_x & u_y & 1 \\ t_x^2 & t_x & t_y & 1 \end{pmatrix} ]

dargestellt. Deren Nullstellenmenge ist eine Parabel.

Kegelschnitte

Kegelschnitte sind die Nullstellegebilde beliebiger bivariater quadratischer Polynome. 5 Punkte bestimmen einen Kegelschnitt.

Mit obigen Ansatz erhält man ein Prädikat für einen Kegelschnitt:

[ r\mapsto \det\begin{pmatrix} v_x^2 & v_y^2 & v_x v_y & v_x & v_y & 1 \\ w_x^2 & w_y^2 & w_x w_y & w_x & w_y & 1 \\ u_x^2 & u_y^2 & u_x u_y & u_x & u_y & 1 \\ t_x^2 & t_y^2 & t_x t_y & t_x & t_y & 1 \\ r_x^2 & r_y^2 & r_x r_y & r_x & r_y & 1 \\ s_x^2 & s_y^2 & s_x s_y & s_x & s_y & 1 \end{pmatrix} ]

Die Funktionswerte dieser Funktion können für verschiedene Werte von $v$, $w$, $u$, $t$ und $s$ im folgendem Applet untersucht werden: