Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit

Ist eine Funktion an einer Stelle $x_0$ differenzierbar (d.h. sie hat überall eine wohldefinierte Tangentensteigung), so kann man daraus deren Stetigkeit in $x_0$ folgern.

Man kann dazu folgendermaßen vorgehen. Es sei $\alpha:=f’(x_0)$ die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$. Wählt man nun für gegebenes $\varepsilon$ die Schranke $\delta$ zu $1/ \max(\alpha,1/\varepsilon)$. Ist $\varepsilon$ genügend klein (und nur um solche braucht man sich überhaupt zu kümmern) so erfüllt das so definierte $\delta$ automatisch die Stetigkeitsbedingung.

Im folgenden Applet wird der Wert von $\delta$ gemäß dieser Regel automatisch eingestellt.