Von Staudt Konstruktionen

Die von Staudt Konstruktionen ermöglichen es einem eine geometrische Addition und Multiplikation durchzuführen. Die Addition und Multiplikation beziehen sich auf eine Gerade, auf der ein Punkt $\mathbf{0}$ ausgezeichnet ist. Im Folgenden betrachten wir zuerst eine euklidische Version der von Staudt Konstruktion, denn an diesen ist unmittelbar ihre Korrektheit ersichtlich. Im Anschluss gehen wir noch auf das projektive Äquivalent ein.

Euklidische Version

Die beiden folgenden Applets zeigen die von Staudt Konstruktionen unter Ausnutzung von Parallelitäten. Dabei ist unmittelbar ersichtlich, dass die Punkte $\mathbf{x+y}$ und $\mathbf{xy}$ den Abstand $ x+y $ bzw. $ xy $ vom Punkt $\mathbf{0}$ haben, wenn die Abstände von $\mathbf{0}$ zu $\mathbf{x}$ bzw. $\mathbf{y}$ gleich $x$ bzw. $y$ sind.

Projektive Version

Wieso handelt es sich in den zwei folgenden Applets um eine projektive Version der beiden oberen? Der Grund dafür ist, dass die Konstruktion die gleiche ist, bloß ein paar der Fernpunkte sind jetzt keine Fernpunkte mehr. Die Gültigkeit der Konstruktionen bleibt aber erhalten, d.h. die Punkte $\mathbf{x+y}$ und $\mathbf{xy}$ liegen immer noch da, wo sie sein sollen. Bisher haben wir gesehen, dass die von Staudt Konstruktionen bzgl. einer projektiven Skala funktionieren, bei der Punkt $\infty$ tatsächlich im Unendlichen liegt. Ihre Gültigkeit bleibt aber auch bzgl. jeder anderen projektiven Skala erhalten. Um dies nach zu prüfen, bewegen Sie den Punkt $B$ so, dass der Schnittpunkt der roten Geraden ins Bild rückt.