Riemann Stieltjes Integrator

Oftmals ist es nützlich Integrale mit Einer Dichte-, bzw. Gewichtsfunktion zu versehen, die Kontrolliert wie stark einzelne Teile des Integranden gewichtet werden. Formal erhält man dies indem man eine monotone Integratorfunktion $\alpha(t)$ einführt und das Integral

\[ \int_a^b f(x)d\alpha(x) \]

bestimmt. Hiermit ist der Grenzwert der Summe

\[ \sum_{i=0}^{n-1} f(c_i) (\alpha(c_{i+1})-\alpha(c_i)) \]

für eine geeignete Unterteilung $c_0,c_1,\ldots c_n$ des Integrationsintervals $[a,b]$ gemeint (sofern dieser existiert).

Ist $\alpha(x)$ eine kontinuierlich Funktion so gilt

\[ \int_a^b f(x)d\alpha(x)=\int_a^b f(x)\alpha’(x)dx. \]

Im Folgenden Applet kann man für Eine Integrator-Funktion $\alpha(x)=\arctan(t\cdot x)$ Das Riemann Stieltjes Integral zwischen zwei Stützstellen $a$ und $b$ auswerten. Die Resultierende Gewichtungsfunktion wird im obersten Plot angezeigt. Die Dichte wird zudem durch Blaufärbung im Integral angedeutet. Die Sprungsteilheit der Funktion $\alpha(x)$ kann am Schieberegler verändert werden. Man sieht, dass im Grenzfall einer unendlich steilen Sprungflanke der diskrete Funktionswert von $f(x)$ gewichtet mit der Sprunghöhe ins Integral eingeht.