Geschlossene Kreisketten

Wir wollen jetzt der Frage nachgehen, wann solche Kreisketten geschlossen sind. Das erste beachtliche Ergebnis bzgl. geschlossener Kreisketten ist, dass die Wahl des Startkreises keine Rolle spielt. D.h. wenn man eine geschlossene Kreiskette innerhalb zweier Kreise hat, schliesst sich jede Kette, die gebildet werden kann. Mehr noch: die Anzahl der Kreise in der Kette bleibt die selbe. Das könne Sie unten einfach testen, indem Sie die Play-Taste drücken und sehen wie die Kette durch alle mögliche Startpositionen schwenkt und der besagte Satz erhalten bleibt.

Wann gibt es nun aber eine geschlossene Kette? Dafür betrachtet man am besten die Situation, in der die beiden Kreise konzentrisch sind (ist keine Einschränkung). Dann kann man den Winkel $\beta$ betrachten, der von der Geraden überstrichen wird, die den Mittelpunkt mit einem der Berührpunkte zweier aufeinanderfolgende Kettenkreis verbindet und sich zum nächsten Berührpunkt bewegt. Einerseits folgt, dass der Winkel nur von den Radien der beiden Kreise abhängt und gilt nun $2\pi/\beta=n\in\mathbb{N}$, so gibt es eine geschlossene Kreiskette der Länge $n$. Im Applet ist das genau dann der Fall, wenn $a=b \cdot n$ gilt (mit $a$ stellen Sie die Zahl unterhalb des Bruchstrichs ein und mit $b$ den zugehörigen Faktor).