Taylorpolynome von $\sin(x)$

Ein kleiner Exkurs in die Analysis: Man kann unendlich oft ableitbare Funktionen in einer gewissen Umgebung eines Punktes $p$ des Definitionsbereichs sehr gut durch Polynome geeignet hohen Grades annähern. Die Güte der Annäherung ist dabei direkt durch den Grad des Polynoms gegeben. Wir beschränken uns hier auf die Annäherung einer Funktion $f(x)$ um den Nullpunkt herum. Die erstbeste Approximation $T_0(x)$ ist natürlich der Wert am Nullpunkt selbst. Wir erhalten die konstante Funktion: \[ T_0(x):=f(0). \] Will man besser approximieren, so muss man auch das lineare Verhalten der Funktion mit einbeziehen. Dieses ist in der ersten Ableitung codiert. Wir erhalten: \[ T_1(x):=f(0)+x\cdot f'(0). \] Analog fährt man mit quadratischen, kubischen, etc. Termen fort und erhält der Reihe nach die Approximationen \[ \begin{array}{l} T_2(x):=f(0)+x\cdot f'(0)+x^2\cdot {f'(0)\over 2!}\\[3mm] T_3(x):=f(0)+x\cdot f'(0)+x^2\cdot {f''(0)\over 2!}+x^3\cdot {f'''(0)\over 3!}\\[3mm] T_4(x):=f(0)+x\cdot f'(0)+x^2\cdot {f''(0)\over 2!}+x^3\cdot {f'''(0)\over 3!}+x^4\cdot {f''''(0)\over 4!}\\[3mm] \ldots\\ \end{array} \] Man spricht hier von einer Taylorentwicklung (oder ganz allgemein von einer Potenzreihenentwicklung) und nennt die so entstandenen Polynome die Taylorpolynome zur Funktion $f(x)$. Die Taylorpolynome sind so definiert, dass der Fehler $f(x)-T_k(x)$ sich verhält wie ein Polynom $(k+1)$-ten Grades, also insbesondere in der Nähe des Nullpunktes sehr klein ist. Im Fall der Sinusfunktion ergeben sich folgende Taylorpolynome: \[ \begin{array}{l} T_0(x):=0\\[2mm] T_1(x):=x\\[2mm] T_2(x):=x\\[2mm] T_3(x):=x-{x^3\over 3!}\\[2mm] T_4(x):=x-{x^3\over 3!}\\[2mm] T_5(x):=x-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}\\[2mm] T_6(x):=x-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}\\[2mm] T_7(x):=x-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}-{x^7\over 7!}\\[2mm] \ldots\\ \end{array} \] Alle $n$-ten Ableitungen an der Stelle $0$ sind entweder $+1$, $-1$ oder $0$. Im folgenden Applet kann man beobachten, wie sich die Taylorpolynome mt steigendem Grad an die Sinusfunktion anschmiegen.