Ford Kreise

Die vermutlich einfachste ganzzahlige Soddy Konfiguration hat die Krümmungen $0,0,1,1$. Das sind zwei Kreise vom Radius $1$ die sich gegenseitig berühren und auf beiden tangential zu einer Geraden sind. Ausgehend von dieser wollen wir nun den iterativen Prozess, der von ihr induziert wird, betrachten. Man nennt diese Kreise auch Ford Kreise.

Als allererstes stellt man fest das die weiteren Krümmungen, die sich dabei ergeben nicht nur ganzzahlig sind, sondern auch Quadratzahlen. Aber es gibt noch eine weiter verblüffende Eigenschaft dieser Kreise, nämlich die Berührpunkte mit den Geraden lassen sich einfach beschreiben. Die beiden Berührpunkte der Startkreise mit einer Geraden haben den Abstand $2$. Führen wir auf deren Verbindungsstrecke eine lineare Skala von $0$ nach $1$ ein, so lassen sich die Berührpunkte der Kreise mit dieser Geraden, die während des iterativen Prozesses entstehen und deren Krümmung $k < n^2\in\mathbb{N}$ ist, durch die so genannte Farey-Reihe

\[ \mathcal{F}_n ={ i/j \; |\; 0\le i\le j \le n;\; i,j\in\mathbb{N}} \]

beschreiben. Im folgenden Applet haben Sie die Möglichkeit über zwei Schieberegler sowohl die Tiefe der Iteration der Kreise als auch $n$ zu variieren.