Konstruiere den letzten Punkt!

In den folgenden Applets sollen spezielle Punkte auf einer in der projektiven Ebene eingebetteten Gerade konstruiert werden. Wurde der gesuchte Punkt auf die Gerade gesetzt, so erscheint er in grün, falls er korrekt konstruiert wurde. Es gibt mehrere Konstruktionen, die zu einem korrekten Ergebnis führen.

Auch die Ausgangspunkte auf der Geraden können frei verschoben werden, so dass Konstruktionen ausgehend verschiedener Ausgangslagen getestet werden können.

Harmonische Lage

Konstruiere einen Punkt $D$, sodass $(A, B; C, D) = -1$. Gesucht ist also ein Punkt $D$, sodass die vier Punkte $A, B, C, D$ in dieser Reihenfolge in harmonischer Lage sind.

Die Bedingung $(A, B; C, D) = -1$ ist genau dann erfüllt, wenn über die homogenenen Koordinaten auf der Geraden die Determinanten-Gleichung $ \frac{[A C] [B D]}{[B C][A D]} = -1$ bzw. $ [A C] [B D] + [B C][A D] = 0$ gilt. Diese Eigenschaft ist invariant unter projektiven Transformationen.

Quadrilateral sets

Konstruiere einen Punkt $F$, sodass die Punkte $(A D|B E|C F)$ ein Quadrilateral set bilden.

Andere Quadsets: (Klicken um als neue Aufgabe auszuwählen)

$(A D|B E|C F)$ ist genau dann ein Quadrilateral set, falls für die homogenen Koordinaten auf der Geraden $[A F] [B D] [C E] - [A E] [B F] [C D] = 0$ gilt.

Gelingt die Konstruktion sowohl über den primalen als auch dualen Ansatz?