Projektive Skalen

Im Applet haben wir drei parallele Geraden (die beiden roten und die schwarze Gerade) und zwei ausgezeichnete Punkte $\mathbf{0}$ und $\mathbf{1}$ auf der schwarzen Geraden gegeben. Wir führen nun die folgende Konstruktion durch:

• Wähle einen beliebigen Punkt auf der roten Geraden durch $C$ (im Applet der linke der beiden schwarzen Punkte) und verbinde ihn mit dem Punkt $\mathbf{1}$.
• Die eben gebildete Gerade schneidet die rote Gerade durch $A$ in einem Punkt, den wir nun mit dem Punkt $\mathbf{0}$ verbinden.
• Dies liefert uns wieder einen neuen Schnittpunkt auf der roten Geraden durch $C$ (der rechte der beiden schwarzen Punkte).
• Diesen verbinden wir wieder mit $\mathbf{1}$ und erhalten einen weiteren Schnittpunkt auf der Geraden durch $A$ und $B$ (erster grüner Punkt).
• Verbinden des letzen Schnittpunkts mit dem linken der beiden schwarzen Punkte ergibt einen Schnittpunkt auf der schwarzen Geraden, den wir mit $\mathbf{2}$ bezeichnen. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass der Abstand der Punkte $\mathbf{1}$ und $\mathbf{2}$ gleich dem Abstand der Punkte $\mathbf{0}$ und $\mathbf{1}$ ist, d.h. wenn man die schwarze Gerade als Zahlenstrahl und die Punkte $\mathbf{0}$ und $\mathbf{1}$ tatsächlich als $0$ und $1$ auffasst, dann liegt der Punkt $\mathbf{2}$ genau an der Stelle $2$. Natürlich kann diese Konstruktion nun iteriert werden, um die Punkte $\mathbf{3}$, $\mathbf{4}$, … zu konstruieren, wie es im Applet angedeutet ist.

Wir wollen das Ganze noch ein wenig weitertreiben und vom Standpunkt der projektiven Geometrie aus betrachten. Was würde denn passieren, wenn wir eine projektive Transformation auf die geometrische Situation im Applet anwenden? Um zu sehen, was passieren würde, bewegen Sie den Punkt $B$ so weit nach unten, dass der Schnittpunkt der beiden roten Geraden ins Bild rückt. Dieser Punkt ist treffenderweise mit $\infty$ bezeichnet, da er vor der Transformation ein Fernpunkt war. Sie können immer noch die Punkte $\mathbf{0}$, $\mathbf{1}$, … sehen, bloß liegen diese nicht mehr äquidistant und es ist ein weiterer Punkt $\infty$ hinzugekommen. Dieser Situation können wir aber eine sinnvolle geometrische Bedeutung geben, wir können nämlich sagen, dass die Punkte $\mathbf{0}$, $\mathbf{1}$, … “immer noch äquidistant” liegen, bloß dieses Mal bzgl. der projektiven Skala $\mathbf{0}$, $\mathbf{1}$, und $\infty$, bei der Punkt $\infty$ eben kein Fernpunkt mehr ist. Mit dieser Sichtweise sehen wir, dass die ursprüngliche Situation nichts anderes ist als ein Spezialfall einer projektiven Skala, bei der der Punkt $\infty$ tatsächlich ein unendlich ferner Punkt war.