Der Schotty-Kreistanz

Wir wollen uns erst einmal ansehen, was beim iterierten Abbilden der Kreise genau passiert. Das nächste Applet zeigt die vier Kreise und die dazu gehörigen Kreispunkte, über die die Möbiustransformationen festgelegt sind. Insgesamt haben wir also vier Möbiustransformationen - zu jedem der beiden diagonal gegenüber liegenden Kreispaare betrachten wir die Transformation und die Umkehrabbildung.

Bildet man alle vier Kreise mit diesen vier Möbiustransformationen ab, so gibt es für jeden Kreis eine Transformation, die ihn auf seinen entsprechenden “Partner” abbildet. Die restlichen drei Transformationen bilden den Kreis in das Innere der andern drei Kreise ab. Führt man dies für jeden der Kreise durch, so entsteht im Inneren jedes Kreises je ein Bild für jeden der drei anderen Kreise. Bildet man nun wiederum diese Kreise ab (d.h. erhöht man die Iterationstiefe), so entstehen in diesen abgebildeten Kreisen wiederum Kreise.

Im Applet kann man die Positionen und Radien der Kreise sowie die Position der Randpunkte verändern. Mit dem Schieberegler lässt sich die Iterationstiefe einstellen. Lässt man die durch kleine Striche verbundenen Punkte zusammenfallen, so entsteht auf jeder Iterationsstufe eine geschlossene Kette von iterierten Kreisen. Im Grenzfall (nach ganz vielen Iterationen) entsteht die Grenzpunktlinie, die dann geschlossen ist.

Da es etwas mühsam ist, die Randpunkte der Kreise so nachzuführen, dass sie an den Berührstellen exakt zusammenfallen, sind im unteren Applet die Randpunkte so gesetzt, dass sie auf den Verbindungsgeraden der Kreismittelpunkte liegen. Wenn sich die Kreise berühren, fallen diese dann ganz automatisch zusammen.