Arithmetik von Soddy Konfigurationen

Das Problem von Apollonius beschäftigt sich damit, zu gegebenen drei Kreisen einen weiteren Kreis zu finden, der gleichzeitig tangential an alle drei ist. Fordern wir zusätzlich, dass sich die ersten drei Kreise ebenfalls gegenseitig tangential berühren, so gibt es zwei mögliche Kreise, die das gewünschte erfüllen - einen der die drei Kreise innen berührt und einen der sie außen berührt. Man nennt eine solche Anordnung von vier Kreisen auch Soddy Konfiguration. Das Applet unten zeigt eine solche Konfiguration. Dabei sind die beiden Lösungskreise rot und grün eingefärbt.

Für Soddy Konfigurationen gilt ein überraschender geometrischer Zusammenhang - der Satz von Descartes:

Es seien $r_1,r_2,r_3,r$ die Radien der Kreise einer Soddy Konfiguration. Dann gilt die Gleichung \[ 2 \cdot \left( \frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} + \frac{1}{r^2} \right) = \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} + \frac{1}{r} \right)^2. \]

Löst man die Gleichung nach nach $1/r$ auf, um den Radius des Kreises zu bestimmen, so ergibt sich

\[ \frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} \pm 2 \sqrt{\frac{1}{r_1} \cdot \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_1} \cdot \frac{1}{r_3} + \frac{1}{r_2} \cdot \frac{1}{r_3}}. \]

Die Lösungen sind die Radien der beiden möglichen Kreise, die die drei ursprünglichen Kreise zu einer Soddy Konfiguration ergänzen. Addieren der beiden Lösungen ergibt wiederum die Gleichung

\[ \frac{1}{r} + \frac{1}{r’} =2 \cdot \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} \right). \]