Die Rolle der Wahrscheinlichkeit

Ein wesentlicher Bestandteil des randomisierten Verfahrens zur Erzeugung der Grenzpunktmenge ist, dass eine der Transformationen in jedem Schritt “zufällig” ausgewählt wird. Wir haben dabei noch nicht weiter festgelegt, welche der Transformationen mit welcher Häufigkeit gewählt werden soll; bisher sind wir von einer Gleichverteilung ausgegangen. Diese Annahme tut nichts zur Sache, wenn der Algorithmus wirklich unendlich lange laufen würde: Früher oder später würde in der Nähe jedes Grenzpunktes ein Punkt gezeichnet.

Die Praxis sieht aber anders aus: der Algorithmus soll in kurzer - nicht unendlich langer - Zeit ein möglichst gutes Bild der Grenzpunktmenge liefern. Je nachdem, wie man die Häufigkeiten verteilt, treten in der erzeugten Punktwolke verschiedene Bereiche unterschiedlich stark hervor.

Im folgenden Applet kann man diesen Effekt erforschen: Es wird ein IFS aus zwei Drehstauchungen gebildet. Die erste bildet die schwarze Strecke $\overline{AB}$ auf die blaue Stecke $\overline{AC}$ ab. Die zweite Transformation bildet $\overline{AB}$ auf die rote Strecke $\overline{DE}$ ab. Mit dem Schieberegler kann man die Wahrscheinlichkeit der Wahl einer der beiden Transformationen beeinflussen. Man stellt fest, dass sich nur für eine spezielle Wahl der Wahrscheinlichkeiten befriedigende Bilder ergeben. Wird die rote Transformation zu häufig verwendet, so wird das Fraktal in der Mitte zu stark ausgedünnt. Wird die blaue Transformation zu stark gewichtet, so gehen die Strukturen in den Randbereichen verloren.

Bei diesem Applet sollte man auch einmal die Positionen der Strecken verändern, um die reichhaltigen Strukturen der entstehenden Fraktale zu sehen.