Euklidische Variationen von Pappos

Bis jetzt haben wir den Satz von Pappos nur in seiner projektiven Fassung kennen gelernt. Es gibt aber auch einige alternative Formulierungen, die nicht projektiv sind. Drei euklidische Variationen folgen nun. Auf der linken Seite sieht man diese, während die rechte Seite das projektive Äquivalent zeigt.

1. Variation

Gegeben sei das Dreieck $XYZ$. Sei $A$ ein Punkt auf der Strecke $\overline{X,Z}$. Ziehe von $A$ aus eine Parallele zur Strecke $\overline{Y,Z}$. Diese schneidet
die Strecke $\overline{X,Y}$ in einem Punkt $B$. Ziehe von $B$ aus eine Parallele zur Strecke $\overline{X,Z}$. Diese schneidet $\overline{Y,Z}$ in einem Punkt $C$. Setzt man dies bis zu
einem Punkt $G$ fort, gilt, dass $A$ und $G$ zusammenfallen.

2. Variation

Gegeben sei das Parallelogramm $ABCD$. Ferner sei $F$ ein Punkt auf der Stecke $\overline{B,D}$, $G$ ein Punkt auf der Strecke $\overline{A,B}$ und der
Schnittpunkt der Parallelen zu $\overline{A,C}$ durch $G$ und der Parallelen zu $\overline{A,B}$ durch $F$ sei mit $E$ bezeichnet. Dann sind die Verbindungsgeraden $\overline{A,F}$,
$\overline{C,E}$ und $\overline{D,G}$ konkurrent.

3. Variation

Gegeben seien zwei Geraden. Auf einer der beiden liegen die Punkte $A, B, C$ und auf der anderen die Punkte $D$ und $E$. Ferner gilt,
dass die Strecken $\overline{A,E}$ und $\overline{B,D}$ parallel sind. Dann sind die Verbindungsgerade $\overline{D,E}$, die Parallele zur Strecke $\overline{C,D}$ durch $A$ und die Parallele zur
Strecke $\overline{C,E}$ durch $B$ konkurrent.