Konstruieren mit Lie-Koordinaten

Dass Lie-Koordinaten sich besonders eigenen um mit Kreisen und Tangentialität um zu gehen, haben wir schon auf der vorhergehenden Seite erwähnt. Der Grund war, dass wir einfach (wir müssen nur ein paar lineare und eine quadratische Gleichung lösen) gesucht geometrische Objekte bestimmen konnten. Wenn man diese Idee systematisch anwendet, bestimmen einem drei Objekte ein neues. Z.B. ergibt sich als Lösung dieser Gleichungen, wenn man sich drei Punkte vergibt, der Kreis durch diese drei Punkte. Gibt man sich hingegen drei Kreise vor, erhält man zwei Kreise (zwei da wir hier u.a. eine quadratische Gleichung lösen), die tangential an die anderen sind.

Auf diese Art und Weise kann eine Vielzahl von Kombinationen bilden. Zur Verfügung hat man Kreise, Punkte, Geraden, eine Punkt $\infty$ (infinity) und eine Hilfspunkt (pointlike), der dafür sorgt, dass die sich ergebenden Objekte Punkte sind. Unten können Sie einfach ausprobieren, welche Objekte sich ergeben. Ziehen Sie dafür einfach drei Objekte aus dem “gelben Lager” auf die graue Aktivbereich.

Zum Abschluss wollen wir noch auf die Schaltfläche “Draw Arrows” eingehen. Das Konzept der Lie-Koordinaten beinhaltet eine Orientierung von Objekten, d.h. jeden Kreis gibt es zweimal. Einmal im Uhrzeigersinn und einmal gegen den Uhrzeigersinn orientiert. Das Verschwinden des Lie-Produktes kodiert nun eine gleichorientierte Berührung, d.h. diese Produkt verschwindet nur, wenn die beiden beteiligten Kreise sich berühren und die Orientierung passend ist. Mit der schaltfläche kann man sich die zugehörigen Orientierung ausgeben lassen und nachprüfen, dass diese passen.