Berechnung des kanonischen Skalarpordktes

Das kanonische Skalarprodukt ist eine Abbildung $\R^n \times\R^n \to \R$ definiert durch

\[ \langle v,w \rangle := v_1w_1+v_2w_2+\cdots+v_nw_n \]

Wobei die $v_i$ und $w_i$ Koordinaten der Vektoren $v$ und $w$ bezüglich der Standardbasis sind. Das kanonische Skalarprodukt hat einige bemerkenswerte geometrische Eigenschaften.

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt sich zu $\langle v,v \rangle := v_1v_1+v_2v_2+\cdots+v_nv_n$. Dies ist (nach dem Satz von Pythagoras) die quadrierte Länge des Vektors $v$. Stehen die Vektoren $v$ und $w$ senkrecht aufeinenander, so ergibt sich $\langle v,w \rangle = 0$.

Mit dem folgenden Applet kann man einfach für verschiedene geometrische Eingabewerte der Vektoren den Wert des Skalarproduktes berechnen.

Hier einige Vorschläge für Experiente mit dem Applet.

• Welche Werte ergeben sich für das Skalarprodukt, wenn $v$ und $w$ auf den Koordinatenachsen liegen?
• Welcher Wert ergibt sich, wenn $v$ und $w$ in die gleiche Richtung zeigen?
• Welcher Wert ergibt sich, wenn $v$ und $w$ in die entgegengesetzte Richtung zeigen?
• Welcher Wert ergibt sich, wenn $v$ und $w$ senkrecht zueinander sind?
• Wie verhält sich das Skalarprodukt, wenn $w$ fest bleibt und $v$ auf einem Kreis mit Mittelpunkt $(0,0)$ wandert?