Beispiel einer Gruppe mit
komponentenweiser Verknüpfung

Aus der Vorlesung wissen wir, dass $(\mathbb{R},+)$ ein Gruppe bildet. Ebenso wurde erklärt, dass für beliebige Gruppen $(G_1,\circ_1),\ldots,(G_n,\circ_n)$ die Menge \[(G_1\times G_2\times\cdots\times G_n,\circ)\] mit der Verknüpfung \[(a_1,\ldots,a_n)\circ (b_1,\ldots,b_n)=(a_1\circ_1 b_1,\ldots,a_n\circ_n b_n)\] eine Gruppe bildet, die Produktgruppe. Demgemäß ist $(\mathbb{R}^2,+)$ mit komponentenweiser Addition $(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)$ eine Gruppe. Das folgende Applet illustriert die Gruppenaddition, indem Elemente aus $\mathbb{R}^2$ mit den Punkten der euklidischen Ebene identifiziert werden.

Im Applet können die Punkte $a$ und $b$ bewegt werden. Man sieht leicht, dass die Addition in dieser Gruppe geometrisch in diesem Fall einer Parallelogrammkonstruktion entspricht. Man beachte, dass das neutrale Element $(0,0)$ ist. Das Inverse zu $(a_1,a_2)$ ist $(-a_1,-a_2)$.