Beschränkter Konvergenzradius

Während bei $\sin(x)$, $\cos(x)$, und $e^{x}$ mit steigender Anzahl der Summanden einer Taylorreihe der Bereich guter Approximtionsgüte beständig wächst, muss dies im Allgemeinen nicht zwangsläufig so sein.

Dies soll an der Funktion

\[ f(x)={1\over x^2+1} \]

verdeutlicht werden. Entwickelt man diese Funktion um den Nullpunkt so ergibt sich die Taylorreihe

\[ 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12}-x^{14}+\ldots \]

Diese hat wie man leicht nachprüft eine Konvergenzradius von $1$. Unabhängig davon wieviele Summanden man aufaddiert wird diese Reihe die Funktion $f(x)$ bestenfalls im Interval $]-1,1[$ gut approximieren.

Ein ganz anloger Effekt stellt sich bei der Taylerentwicklung von

\[ f(x)=\arctan(x) \]

ein. Die Entwicklung um den Nullpunkt ergibt sich hier zu:

\[ x-{x^3\over 3}+{x^5\over 5}-{x^7\over 7}+{x^9\over 9}-{x^{11}\over 11}+{x^{13}\over 13}-\ldots \]

Wiederum ist die Konvergenz auf das Intervall $]-1,1[$ beschränkt.