Das Band

Die Grenzpunktmengen der letzten Abschnitte waren zwar sehr reizvoll; es war aber auch nicht besonders einfach, diese gezielt zu finden. Wir schränken unsere Freiheiten nun ein und beginnen mit ganz speziellen Anordnungen.

Die Form zweier Kreise festzulegen, ist - wenn man es sich genau überlegt - gar keine starke Einschränkung: Die erzeugten Grenzpunktmengen werden nämlich einfach mittransformiert, wenn wir eine “globale” Möbiustransformation auf alle erzeugenden Punkte und Kreise anwenden. Wir können aber durch eine solche globale Transformation zwei Kreise auf ganz spezielle Kreise abbilden; insbesondere kann man ihren Radius unendlich groß werden lassen und dadurch die Kreise in Geraden verwandeln. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit (wie Mathematiker in solch einem Fall sagen) können wir auf diese Art und Weise annehmen, dass zwei der Kreise parallele Geraden sind. Nun benötigen wir noch zwei weitere Kreise, welche die beiden Parallelen berühren. Viele Möglichkeiten gibt es dafür nicht: Die beiden Kreise müssen als Durchmesser den Parallelenabstand haben und genau zwischen den Parallelen sitzen. Nur noch die Entfernung der Kreise voneinander kann verstellt werden. Für die Möbiustransformation haben wir aber trotzdem noch mehr Freiheiten, da für diese durch die Anordnung der Kreise nur zwei von drei Bild/Urbild-Paaren festgelegt sind.

In folgenden Applet haben wir diese Situation dargestellt. Zwei der Kreise (die unendlich großen) sind die blauen Geraden. Die anderen beiden Kreise sind genau eingepasst. Die Lage und Größe der Kreise lässt sich mit den weißen Punkte verändern. Darauf basierend haben wir zwei besonders einfache Möbiustransformationen ausgewählt: Die erste ist die Parallelverschiebung der einen Parallele auf die andere. Die zweite Transformation bildet die drei Punkte des oberen Kreises auf die des unteren Kreises ab. Eine besonders reizvolle Situation ergibt sich, wenn sich die beiden kleinen Kreise berühren. Verschiebt man die Kreise über den Berührpunkt weiter, so gibt es Positionen, in denen die erzeugte Grenzpunktmenge besonders “gut aufgeht”. Es entstehen dann zwischen den beiden horizontalen Begrenzungen scharf abgegrenzte Ketten von schwarzen Kreisen (,die gerade nicht zur Grenzpunktmenge gehören).