Funktionen die zwar stetig aber nicht differenzierbar sind

Stetigkeit impliziert nicht notwendig Differenzierbarkeit. Das folgende kleine Bestiarium an Konstruktionen soll dies vermitteln. An den Knöpfen kann man sieben verschiedene Funktionenstypen auswählen. Zur Eingewöhnung zeigt Funktion 1 ($\sin(x)$) eine überall stetige und überall differenzierbare Funktion. Funktion 2 ($\sin(1/x)$) ist an der Stelle $x=0$ weder differenzierbar noch stetig. Funktion 3 ist im Nullpunkt zwar stetig, aber nicht differenzierbar.

Interesant wird es bei den folgenden Funktionen (diese beruhen jeweils auf einer unendlichen Summe und werden hier nur approximativ gezeigt). Funktionen 4-6 sind Variationen einer Konstruktion von Weierstraß aus dem Jahre 1872. Diese sind überall stetig aber nirgends differenzierbar. Die Weierstraß’schen Funktionen waren die ersten bekannten Funktionen mit dieser Eigenschaft. Mit dem Regler für $k$ kann man die Summationstiefe beeinflussen.

Die letzte Funktion 7 geht auf Riemann zurück und wurde bereits 1861 entdeckt. Diese ist ‘fast’ überall nicht differenzierbar. Sie hat eine endliche Ableitung nur an stellen der Form $\pi{2p+1\over 2q+1}$ mit ganzen Zahlen $p$ und $q$.

Der keine helle Kreis kann als Lupenfunktion verwendet werden.