Konstruktion eines harmonischen Punktes

Vier kollineare Punkte $A,B,C,D$ sind in harmonischer Lage, wenn ihr Doppelverhältnis $(A,B;C,D)=-1$ ist. Angenommen wir haben nun drei kollineare Punkte $A,B,C$ gegeben und wollen nun einen Punkt $D$ konstruieren, für den gilt $(A,B;C,D)=-1$. Dafür führen wir die folgenden Konstruktion durch:

• Wähle einen Punkt $1$, der nicht auf der Geraden durch $A,B,C$ liegt.
• Verbinde die Punkte $A,B,C$ mit dem Punkt $1$.
• Wähle einen Punkt $2$ auf der Stecke zwischen $B$ und $1$.
• Verbinde $A$ mit $2$.
• Schneide $A \land 2$ mit $C \land 1$ und bezeichne diesen Schnittpunkt mit $3$.
• Verbinde $B$ mit $3$.
• Schneide $A \land 1$ mit $B \land 3$ und bezeichne diesen Schnittpunkt mit $4$.
• Verbinde $2$ mit $4$.
• Schneide $2 \land 4$ mit $A \land B$ und bezeichne diesen Schnittpunkt mit $D$.

Dann gilt, dass $(A,B;C,D)=-1$ ist. Die Konstruktion ist unabhängig von der speziellen Wahl von $1$ und $2$, was man einfach im Applet nachprüft.

Zusätzlich gibt es im Applet noch einen Punkt $D’$ und es wird das Doppelverhältnis $(A,B;C,D’)$ angezeigt. Wenn Sie den Punkt $D’$ bewegen, stellen Sie fest, dass das Doppelverhältnis $(A,B;C,D’)$ den Punkt $D’$ in Bezug zu den Punkte $A,B,C$ setzt. Die Punkte $A,B,C$ spielen dabei die Rolle einer projektiven Skala, bei der $A =\infty$, $B = \mathbf{0}$ und $C = \mathbf{1}$ gilt.