$\mathbb{RP}^2$ in der Ebene und auf der Kugel

Die reelle projektive Ebene kann man auf unterschiedliche Weisen darstellen. Eine ist die euklidische Ebene zu nehmen und sich die Fernpunkte einfach dazu zu denken. Dies ist im linken Applet der Fall. Dort sehen wir einen geometrischen Satz (den Satz von Pappos).

Jetzt kann man aber auch die reelle projektive Ebene auf der Einheitssphäre $S^2$ im $\mathbb{R}^3$ darstellen. Um zu verstehen wie das funktioniert, erinnern wir uns an die Konstruktion der homogenen Koordinaten. Dort haben wir gesehen, dass jedem Punkt der reellen projektiven Ebene ein eindimensionaler Untervektorraum des $\mathbb{R}^3$ entspricht.
Da jeder dieser Untervektorräume die Einheitssphäre in genau einem antipodalen Punktepaar schneidet, gibt es eine eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten von $\mathbb{RP}^2$ und den antipodalen Punktepaaren der $S^2$. Die Geraden jedoch werden nun anstatt mit eindimensionalen mit zweidimensionalen Untervektorräumen identifiziert. Man kann nämlich jede Äquivalenzklasse auch als Orthogonalraum einer Ebene im $\mathbb{R}^3$ auffassen. Diese Ebene ist wieder eindeutig bestimmt und enthält den Ursprung, ist also ein zweidimensionaler Untervektorraum. So bekommen wir unmittelbar ihre Interpretation auf der Kugeloberfläche, nämlich als Schnitt der Kugeloberfläche und des zur Geraden gehörenden Untervektorraumes. Dies liefert als Bild der Geraden auf der $S^2$ Großkreise und die Inzidenz wird letztlich zur Inzidenz auf der Kugeloberfläche.

Eine Visualisierung dieses Modells der reellen projektiven Ebene findet sich im rechten Applet wieder. Dort ist die gleiche geometrische Situation zu sehen wie im linken Applet, bloß diesmal auf der Kugeloberfläche, auf der antipodale Punkte identifiziert werden.

PapposKugel.cdy (Dieses Applet kann in Cinderella ausgeführt werden.)