Polarität bzgl. Kegelschnitt

Es sei $\mathbb{RP}^2 = (\mathcal{P},\mathcal{G},\mathcal{I})$ die reelle projektive Ebene und $\mathcal{C}$ ein Kegelschnitt der durch die reelle symmetrische $3{\times}3$ Matrix $Q$ beschrieben wird. Dann definieren wir die folgende Abbildung:

\[ * _ {Q} : \mathcal{P} \to \mathcal{G}; \quad [P] \mapsto [Q \cdot P].\]

Die Abbildung $* _ {Q}$ nennen wir die Polarität an $\mathcal{C}$. Wir wollen nun ein paar Eigenschaften der Polarität angeben:

• Sie bildet einen Punkt $[P]$ auf eine Gerade $[Q \cdot P]$ ab.
• Liegt $[P]$ außerhalb von $\mathcal{C}$, so schneidet $[Q \cdot P]$ den Kegelschnitt.
• Liegt $[P]$ innerhalb von $\mathcal{C}$, so schneidet $[Q \cdot P]$ den Kegelschnitt nicht.
• Liegt $[P]$ auf $\mathcal{C}$, so ist $[Q \cdot P]$ eine Tangente an den Kegelschnitt.

Im Applet korrespondieren immer der Punkt und die Gerade mit der gleichen Farbe, d.h. z.B. die rote Gerade ist das Bild des roten Punktes unter der Polarität an den schwarzen Kegelschnitt. Sie können nun die oben erwähnten Eigenschaften nachprüfen. Wir wollen noch ein wenig weitergehen. Wir können nämlich noch mehr über das Bild unter Polarität aussagen. Welche Gerade erhalten wir als Bild eines Punktes, der außerhalb des Kegelschnitts liegt? Dafür positionieren wir den roten Punkt irgendwo außerhalb des Kegelschnitts und setzen die anderen beiden Punkte jeweils auf die Schnittpunkte der roten Geraden und des Kegelschnitts. Jetzt sind die blaue und die grüne Gerade Tangenten an den Kegelschnitt, die sich im roten Punkt schneiden. Also ist das Bild des roten Punktes gerade die Gerade, die durch die beiden Punkte des Kegelschnitts geht, die gleichzeitig auf dem Kegelschnitt liegen und den zwei Tangenten, die man vom roten Punkt aus anlegen kann.