Zwei Kreise

Das Buch Indra’s Pearls beschäftigt sich mit iterierten Funktionensystemen, die von zwei Möbiustransformationen und deren Umkehrabbildungen erzeugt werden. Die Klasse der zugehörigen Grenzpunktmengen ist dabei extrem reichhaltig. Besonders interessante Situationen (sowohl mathematisch als auch ästhetisch!) ergeben sich, wenn man ganz bestimmte Möbiustransformationen wählt.

Wir beginnen mit der Situation, die wir im Kapitel Möbiustransformation aus drei Punkten bereits kennengelernt haben. Gegeben seien zwei disjunkte (also sich nicht überlappende) Kreise und jeweils drei Punkte auf dem Rand, die der Reihe nach aufeinander abgebildet werden. Das Applet verdeutlicht nochmals diese Situation (die Randpunkte, Kreismittelpunkte und Radien der Kreise sind veränderbar). Der grüne Punkt wird unter dieser Transformation und ihrer Umkehrabbildung iteriert abgebildet.

Diese Transformation ist insbesondere deshalb besonders “gutartig”, weil sie die Punkte (solange sich die Kreise nicht überschneiden und die Randpunkte geordnet bleiben) nicht allzu sehr “durcheinander mischt”. Im unteren Applet sieht man, wie die ursprünglichen Kreise selbst durch diese Transformationen abgebildet werden: Es entsteht eine lange Kette ineinandergeschachtelter Kreise.

Berühren sich die beiden Kreise und ist zudem der Berührpunkt ein Fixpunkt der Möbiustransformation, so bleiben die iterierten Kreise über lange Zeit relativ groß und es entstehen zwei gut sichbare “Attraktionsbecken” (ausprobieren!).