Skalarproduktnormen

Ist für eine symmetrische Matrix $ A=A^T$ die Abbildung

\[ \begin{array}{rcl} V\times V&\to& \R
(v,w)&\mapsto& v^T A w \end{array} \]

positiv definit, so ist diese automatisch ein Skalarprodukt (Bilinearität und Symmetrie folgen direkt aus der Definition der Abbildung). Im folgenden Applet kann man sich für verschiedene symmetrische $2\times 2 $ Matrizen die Menge

\[ \left\{v\in \R^2 \;\vert\; v^TAv<1\right\} \]

ansehen. Diese ist blau dargestellt.

Der Rand dieser Menge ist immer ein Kegelschnitt, das Lösungsgebilde einer quadratischen Gleichung. Ist diese Menge beschränkt (das heißt die Menge ist eine ausgefüllte Ellipse) so ist dei Abbildung positiv definit. in diesem Falle definiert

\[ \Vert v\Vert_A=\sqrt{v^TAv} \]

eine Norm.

  Die Norm des kanonischen Skalarproduktes
  In eine Richtung gestauchte Norm
  Verdrehte Norm
  Grenzfall: Gerade so nicht mehr positiv definit
  Nicht positiv definit: Es gibt Vektoren die in $v^TAv$ negativ sind
  Wie vorheriges Beispiel “nur” verdreht
  Negativ definit: Für alle Vektoren $v\neq 0$ ist $v^TAv$ negativ

Man kann die Einträge der Matrix entweder textuell oder an den Schiebereglern verändern. Durch ziehen an den Schiebereglern kann man sehr gut die Übergänge zwischen den einzelnen Fällen studieren.

Bemerkung: Übrigens besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem Verhalten der Funktion $v^TAv$ und den Eigenwerten der Matrix $A$. Sind beide Eigenwerte positiv so erhalten wir eine Ellipse und die Abbildung ist positiv definit. Ist einer der Eigenwerte gleich Null, so haben wir die Situation des durch zwei parallelen begrenzten Gebiets. Ist ein Eigenwert positiv und der andere negativ, so liegt der Fall einer Ellipse vor. Bei zwei negativen Eigenwerten ist die Abbildung negativ definit.

Die kann man im Applet auch sichtbar machen. Hierbei wird immer eine Basis aus Eigenvektoren angegeben. Ein grüner Eigenvektor gehört hierbei zu einem Positiven Eingenwert. Ein roter Eigenvektor gehört zu einem negativen Eingenwert. Und ein gelber Eigenvektor gehört zum Eigenwert 0. Es Fällt auf, dass man im Fall symmetrischer Matrizen immer zwei senkrecht aufeinander stehende Eigenwerte wählen kann. Die Richtungen entsprechen hierbei den Symmetrieachsen des blauen Gebietes.

Ferner fällt auf, dass die roten und gelben Eigenvektoren immer in eine Richtung Zeigen, in der das blaue Gebiet unbegrenzt ist.