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Verknüpfungstabellen zu Addition
und Multiplikation modulo p

Neben den bekannten unendlichen Gruppen wie $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{C},+)$, bzw. $(\mathbb{Q}-\{0\},\cdot)$, $(\mathbb{R}-\{0\},\cdot)$, $(\mathbb{C}-\{0\},\cdot)$, gibt es auch Gruppen, die nur endlich viele Elemente enthalten. Eine interessante Beispielklasse dieser Art entsteht, wenn man alle Rechnungen über $\mathbb{Z}$ modulo einer gewissen Zahl $p$ durchführt, was bedeutet, dass man lediglich die Reste beim Teilen durch $p$ betrachtet. Hierzu betrachten wir die Menge \[ \mathbb{Z}_p:=\{0,1,\ldots (p-1)\} \] und die beiden zweistelligen Operationen $\oplus_p$ und $\odot_p$ auf dieser Menge definiert durch \[ a\oplus_p b:=(a+b) \mbox{ mod } p;\qquad \qquad a\odot_p b:=(a\cdot b) \mbox{ mod } p. \] Das unten stehende Applet zeigt die Verknüpfungstafeln (p kann am Schieberegler verändert werden):



Es stellt sich heraus, dass für beliebige $p\in \mathbb{N}-\{0\}$ das Paar $(\mathbb{Z}_p,\oplus_p)$ eine Gruppe ist. Das Paar $(\mathbb{Z}_p,\odot_p)$ ist hingegen nicht immer eine Gruppe. Dies ist nur dann der Fall, wenn $p$ eine Primzahl ist. Man erkennt dies allein daran, dass - wenn $p$ keine Primzahl ist - in der Verknüpfungstafel zu viele Nullen auftreten. An den Verknüpfungstafeln kann man auch beobachten, dass - wenn eine Gruppe vorliegt - in jeder Spalte und jeder Zeile jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt.